2008 年考研数学（二） 第 16 题

题目把三块知识串在一起：解 ODE 得到 $x(t)$、变限积分求导得到 $\frac{dy}{dt}$、参数方程二阶导公式。解题次序不能乱：必须先把 $x=\ln (t^2+1)$ 求出来（它同时给出 $\frac{dx}{dt}$）。求二阶导时最常见的错误是忘记再除一次 $\frac{dx}{dt}$——参数方程的 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 是「$\frac{dy}{dx}$ 对 $t$ 的导数」再除以 $\frac{dx}{dt}$。最后借 $e^x=t^2+1$ 把答案化成简洁的 $(x+1)e^x$。

本题综合考查可分离变量微分方程与参数方程求二阶导数。 先解出 $x(t)$，再按参数方程求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

第一步：解 $x(t)$。 由 $\frac{dx}{dt}=2t{e}^{-x}$ 分离变量得 $e^{x}dx=2tdt$，两端积分 $e^x=t^2+C_0$。由 $x{|}_{t=0}=0$ 得 $e^0=0+C_0$，即 $C_0=1$。故 $e^x=t^2+1$，$x=\ln (t^2+1)$。

第二步：求 $\frac{dy}{dx}$。 由 $y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)du$，对 $t$ 求导（变限积分求导 + 链式法则）：$\frac{dy}{dt}=\ln (1+t^2)\cdot 2t$。又 $\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{t^2+1}$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t\ln (1+t^2)}{\frac{2t}{t^2+1}}=(t^2+1)\ln (t^2+1).$$

第三步：求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。 对 $\frac{dy}{dx}$ 再关于 $x$ 求导，仍用参数式：
$$\frac{d}{dt}\left[(t^2+1)\ln (t^2+1)\right]=2t\ln (t^2+1)+(t^2+1)\cdot \frac{2t}{t^2+1}=2t\ln (t^2+1)+2t,$$
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}=\frac{2t[\ln (t^2+1)+1]}{\frac{2t}{t^2+1}}=(t^2+1)[\ln (t^2+1)+1].$$

注意 $e^x=t^2+1$、$x=\ln (t^2+1)$，故结果也可写成 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(x+1)e^x$。