2008 年考研数学（二） 第 15 题

分母是 $x^4$，说明要精确到四阶；末尾的 $\sin x$ 贡献一阶（$\sim x$），所以 $\sin x-\sin (\sin x)$ 必须是三阶无穷小。识别信号：$\sin x-\sin (\sin x)$ 是「$u-\sin u$」型（这里 $u=\sin x$），而 $u-\sin u\sim \frac{u^3}{6}$，于是它 $\sim \frac{1}{6}{\sin }^{3}x\sim \frac{1}{6}{x}^3$。换元 $t=\sin x$ 把它变成课本极限 $\frac{t-\sin t}{t^3}=\frac{1}{6}$ 最省心。切忌一上来就对 $\sin (\sin x)$ 用 $\sin u\sim u$，那样精度不够会算出 $0$。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限的计算。 关键是处理 $\sin x-\sin (\sin x)$ 这个三阶无穷小，可用换元 + 洛必达，或用泰勒展开。

方法一（换元 + 等价无穷小 + 洛必达）：先把末尾的 $\sin x$ 与一个 $x$ 配平。由 $\sin x\sim x$，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{x^3}\cdot \frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{x^3}.$$
又 $x^3\sim {\sin }^{3}x$，令 $t=\sin x\to 0$：
$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{{\sin }^{3}x}\stackrel{t=\sin x}{=}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t-\sin t}{t^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{3t^2}=\frac{1}{6}.$$

方法二（泰勒展开）：由 $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$，将 $\sin x$ 代入自身得 $\sin (\sin x)=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3!}+o({\sin }^{3}x)$，故
$$\sin x-\sin (\sin x)=\frac{{\sin }^{3}x}{6}+o(x^3)\sim \frac{1}{6}{\sin }^{3}x\sim \frac{1}{6}{x}^3.$$
于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3\cdot x}{x^4}=\frac{1}{6}.$$