2008 年考研数学（二） 第 14 题

本题就是两条公式的串联：先用「$|kA|=k^n|A|$」从 $|2A|=-48$ 剥出 $|A|=-6$（$n=3$ 所以系数是 $2^3=8$，最容易错的就是把 $2$ 直接当系数）；再用「行列式 = 特征值之积」列出 $6\lambda =-6$。两步都是定义级结论，解得 $\lambda =-1$。

本题考查特征值与行列式的关系及数乘行列式的性质。 两个关键结论：$|A|$ 等于全部特征值之积；$|kA|=k^n|A|$。

由特征值之积等于行列式：$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=2\cdot 3\cdot \lambda =6\lambda$。

又 $A$ 为 $3$ 阶，$|2A|=2^3|A|=8|A|$。由 $|2A|=-48$ 得 $8|A|=-48$，即 $|A|=-6$。

于是 $6\lambda =-6$，解得 $\lambda =-1$。