2008 年考研数学（二） 第 13 题

凡遇「底数、指数都含变量」的幂指函数，取对数是标准解法：$\ln z=\frac{x}{y}\ln \frac{y}{x}$ 把乘幂变成乘积，求偏导只需乘积法则。求完 $\frac{1}{z}{z}_x$ 记得乘回 $z$。最后代点时先算出 $z(1,2)=2^{1/2}=\sqrt{2}$，与括号里的 $(\ln 2-1)$ 相乘、除以 $y=2$，得 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\ln 2-1)$。

本题考查幂指函数的偏导数。 幂指结构 $u^v$ 宜先取对数再求偏导。

对 $z={\left(\frac{y}{x}\right)}^{x/y}$ 两端取对数：$\ln z=\frac{x}{y}\ln \frac{y}{x}=\frac{x}{y}(\ln y-\ln x)$。两端对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常量）：
$$\frac{1}{z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}\ln \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{y}\ln \frac{y}{x}-\frac{1}{y}.$$

于是 $\frac{\partial z}{\partial x}=z\left(\frac{1}{y}\ln \frac{y}{x}-\frac{1}{y}\right)=\frac{z}{y}\left(\ln \frac{y}{x}-1\right)$。

在 $(1,2)$ 处，$z={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}=\sqrt{2}$，故
$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\ln 2-1\right).$$