2008 年考研数学（二） 第 12 题

求拐点先算 $y^{\prime \prime }$ 并写成便于判号的形式。这里 $y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-4/3}(x+1)$，因 $x^{-4/3}$ 恒正，凹凸性完全由 $(x+1)$ 掌控，故唯一变号点是 $x=-1$。$x=0$ 虽让 $y^{\prime \prime }$ 无定义，但 $(x+1)$ 在 $x=0$ 两侧不变号，凹凸性不改，所以不是拐点——这是本题最易失分处。代回原式时注意 $(-1{)}^{2/3}=1$（先平方再开立方），得纵坐标 $-6$。

本题考查拐点的求法。 求二阶导数，找 $y^{\prime \prime }=0$ 或 $y^{\prime \prime }$ 不存在且两侧变号的点。

$y=(x-5)x^{2/3}=x^{5/3}-5x^{2/3}$，定义域 $(-\infty ,+\infty )$。求导：
$$y^{\prime }=\frac{5}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3},$$
$$y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-1/3}+\frac{10}{9}{x}^{-4/3}=\frac{10}{9}{x}^{-4/3}(x+1).$$

由 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=-1$（注意 $x^{-4/3}>0$，$x=0$ 处 $y^{\prime \prime }$ 不存在但 $x+1$ 不变号，非拐点候选之外还需看 $x=0$，下面统一判定）。当 $x<-1$ 时 $x+1<0$，$y^{\prime \prime }<0$；当 $-1<x<0$（及 $x>0$）时 $x+1>0$，$y^{\prime \prime }>0$。故 $y^{\prime \prime }$ 在 $x=-1$ 两侧变号，$x=-1$ 是拐点横坐标。

当 $x=-1$ 时 $y=(-1-5)\cdot (-1{)}^{2/3}=-6\cdot 1=-6$。故拐点坐标为 $(-1,-6)$。