2008 年考研数学（二） 第 11 题

标准的隐函数切线题：对方程整体求导得到含 $y^{\prime }$ 的关系，然后把切点坐标一次性代入解斜率（不必先解出 $y^{\prime }$ 的一般表达式，代点后是关于 $y^{\prime }$ 的一次方程，更快）。本题代入 $(0,1)$ 后 $\cos (xy)=1$、$x{y}^{\prime }$ 项因 $x=0$ 消失，方程塌缩成 $1+(y^{\prime }-1)=1$，立得 $y^{\prime }=1$，切线 $y=x+1$。

本题考查隐函数求导与切线方程。 对方程两端关于 $x$ 求导，代入点坐标求斜率。

两端对 $x$ 求导：
$$\cos (xy)\cdot \left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+\frac{\frac{dy}{dx}-1}{y-x}=1.$$

把 $x=0,y=1$ 代入：$\cos 0\cdot \left(1+0\right)+\frac{y^{\prime }-1}{1-0}=1$，即 $1+(y^{\prime }-1)=1$，解得 $\frac{dy}{dx}{|}_{(0,1)}=1$。

故切线方程为 $y-1=1\cdot (x-0)$，即 $y=x+1$。