2008 年考研数学（二） 第 10 题

先把 $dx,dy$ 混排的方程理成显式一阶线性方程 $y^{\prime }-\frac{1}{x}y=x{e}^{-x}$，然后要么直接套积分因子公式（$\mu =\frac{1}{x}$），要么眼尖看出左边配得成 ${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }$——后者更省事，积一次分就出 $\frac{y}{x}=C-e^{-x}$。最终 $y=Cx-x{e}^{-x}$。留意别把通解常数漏乘 $x$：齐次解是 $Cx$。

本题考查一阶线性微分方程的求解。 先整理成标准形式，再套通解公式。

由 $(y+x^2{e}^{-x})dx-xdy=0$ 得 $x\frac{dy}{dx}=y+x^2{e}^{-x}$，即
$$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=x{e}^{-x}.$$
这是一阶非齐次线性方程，$P(x)=-\frac{1}{x}$，$Q(x)=x{e}^{-x}$。

由通解公式 $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$，其中 $\int Pdx=-\ln x$：
$$y=e^{\ln x}\left(\int x{e}^{-x}\cdot e^{-\ln x}dx+C\right)=x\left(\int e^{-x}dx+C\right)=x(-e^{-x}+C).$$
故通解为 $y=Cx-x{e}^{-x}$（$C$ 为任意常数）。

另解：原方程可写成 $x{y}^{\prime }-y=x^2{e}^{-x}$，两边除以 $x^2$ 得 $\frac{x{y}^{\prime }-y}{x^2}=e^{-x}$，即 ${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$，积分得 $\frac{y}{x}=-e^{-x}+C$，故 $y=Cx-x{e}^{-x}$。