2008 年考研数学（二） 第 9 题

这是「含未知函数的极限反求函数值」题。策略是把整个式子用等价无穷小压到只剩 $f(0)$：分母 $e^{x^2}-1\sim x^2$，分子 $1-\cos [xf(x)]\sim \frac{1}{2}{x}^2{f}^2(x)$。两边的 $x^2$ 消掉、$f(x)$ 消掉一个，恰好剩 $\frac{1}{2}f(x)$，再借「$f$ 连续」把 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 换成 $f(0)$。令其等于 $1$ 立得 $f(0)=2$。注意 $1-\cos u\sim u^2/2$ 里的平方会把 $f$ 变成 $f^2$，正是它保证约分后还剩一个 $f$。

本题考查等价无穷小替换与连续性。 用等价无穷小把分子分母同时化简。

当 $x\to 0$ 时，$e^{x^2}-1\sim x^2$；又 $1-\cos [xf(x)]\sim \frac{[xf(x){]}^2}{2}=\frac{x^2{f}^2(x)}{2}$。于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos [xf(x)]}{(e^{x^2}-1)f(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2{f}^2(x)}{x^{2}f(x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}f(0).$$
（最后一步用了 $f$ 连续，故 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)$。）

由题设该极限等于 $1$，即 $\frac{1}{2}f(0)=1$，解得 $f(0)=2$。