2008 年考研数学（二） 第 8 题

合同的判据只看「惯性指数」——正特征值几个、负特征值几个，与特征值具体数值无关。所以先给 $A$ 定型：特征值 $-1,3$，一正一负。再扫选项，凡是「两正」（B、C）或「两负」（A）的立即淘汰，只有 D 也是一正一负，与 $A$ 同型故合同。这类题的关键是牢记「合同 = 惯性指数相同」，不要误当成「相似」（相似才要求特征值完全相同）。

本题考查实对称矩阵合同的判定。 两个实对称矩阵合同 $\iff$ 它们的正、负惯性指数分别相同（即正、负特征值的个数分别相同）。

先求 $A$ 的特征值：$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -2& \lambda -1\end{array}\right|={\lambda }^2-2\lambda -3=0$，得 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=3$。故 $A$ 的正惯性指数为 $1$、负惯性指数为 $1$。

逐一计算各选项矩阵的特征值：
（A）$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ 特征值 $-1,-3$（正 $0$、负 $2$），不合同；
（B）$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ 特征值 $1,3$（正 $2$、负 $0$），不合同；
（C）$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 特征值 $1,3$（正 $2$、负 $0$），不合同；
（D）$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$ 特征值 $-1,3$（正 $1$、负 $1$），与 $A$ 惯性指数相同，合同。

故应选 D。