2008 年考研数学（二） 第 7 题

看到幂零条件 $A^3=O$，最快的路子是把单位矩阵「借」出来做因式分解：$E=E-A^3=(E-A)(E+A+A^2)$，这直接按定义给出 $E-A$ 的逆；对 $E+A$ 用 $E=E+A^3$ 同理。另一条稳妥的思路是特征值：$A^3=O\Rightarrow$ 全部特征值为 $0\Rightarrow E\pm A$ 特征值全为 $1\Rightarrow$ 行列式为 $1$ 非零。两法都指向「都可逆」，选 C。

本题考查逆矩阵的定义（因式分解构造逆）。 利用 $A^3=O$ 把 $E$ 分解成两个矩阵之积。

方法一（构造逆矩阵）：由 $A^3=O$ 得
$$E=E-A^3=(E-A)(E+A+A^2),$$
由可逆矩阵定义知 $E-A$ 可逆，且 $(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$。
又
$$E=E+A^3=(E+A)(E-A+A^2),$$
故 $E+A$ 也可逆，且 $(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$。因此 $E-A$、$E+A$ 都可逆。

方法二（特征值）：设 $Ax=\lambda x(x\ne 0)$，则 $A^{3}x={\lambda }^{3}x$。由 $A^3=O$ 得 ${\lambda }^3=0$，即 $A$ 的特征值全为 $0$。于是 $E-A$ 的特征值全为 $1$，$E+A$ 的特征值也全为 $1$，故 $|E-A|=|E+A|=1\ne 0$，两者都可逆。故应选 C。