2008 年考研数学（二） 第 6 题

凡是积分区域边界或被积函数出现 $x^2+y^2$，第一反应就是极坐标。本题极坐标一换，$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 与雅可比里的 $r$ 正好抵消，二重积分分离成 $v\cdot {\int }_1^{u}f(r^2)dr$。剩下就是对上限求导：$\frac{d}{du}{\int }_1^{u}f(r^2)dr=f(u^2)$，乘上前面的 $v$ 得 $vf(u^2)$。注意是 $f(u^2)$ 不是 $f(u)$（上限代进 $f(r^2)$），这是 A 与 C、D 的分水岭。

本题考查二重积分的极坐标计算与变限积分求导。 被积函数含 $x^2+y^2$，用极坐标最方便。

令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$，则 $D_{uv}=\{(r,\theta )\mid 0\le \theta \le v,1\le r\le u\}$，且面积元 $dxdy=rdrd\theta$，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，故
$$F(u,v)={\int }_0^{v}d\theta {\int }_1^u\frac{f(r^2)}{r}\cdot rdr={\int }_0^{v}d\theta {\int }_1^{u}f(r^2)dr=v{\int }_1^{u}f(r^2)dr.$$

对 $u$ 求偏导（变限积分对上限求导）：
$$\frac{\partial F}{\partial u}=v\cdot f(u^2).$$
故应选 A。