2008 年考研数学（二） 第 5 题

命题真假判断题，正面证一条、反面否三条。正面抓「单调有界准则」这唯一能凭空产生收敛性的定理：$f$ 单调把 $\{x_n\}$ 的单调性传给 $\{f(x_n)\}$，$f$ 有界又封住了范围，两条件合起来正是准则的前提，故 B 对。其余三项都想把「$f(x_n)$ 的性质」反推回「$x_n$ 的性质」或忽略单调性，用有界单调函数（阶梯、$\frac{x^2}{1+x^2}$、$\arctan x$）很容易造反例。

本题考查单调有界准则。 核心结论：单调有界数列必收敛。

说明 B 正确：$f(x)$ 单调，故当 $\{x_n\}$ 单调时，$\{f(x_n)\}$ 也单调；又 $f(x)$ 有界，故 $\{f(x_n)\}$ 单调有界，由单调有界准则知 $\{f(x_n)\}$ 收敛。

其余选项举反例排除：
（A）取 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$（单调有界），$x_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}\to 0$ 收敛，但 $f(x_n)$ 在 $-1,1$ 间振荡发散，故 A 错。
（C）取 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$（在 $[0,+\infty )$ 单调有界），$x_n=n$，则 $f(x_n)=\frac{n^2}{1+n^2}\to 1$ 收敛，但 $\{x_n\}=\{n\}$ 发散，故 C 错。
（D）取 $f(x)=\arctan x$（单调有界），$x_n=n$，则 $f(x_n)=\arctan n$ 单调增加，但 $\{x_n\}$ 发散，故 D 错。

故应选 B。