2008 年考研数学（二） 第 4 题

间断点分类题的固定流程：先锁定无定义点（这里是 $x=0,1$），再对每个点求左右极限判型（两侧相等且有限→可去；两侧有限不等→跳跃；有一侧为 $\infty$→无穷）。本题两个关键技巧是等价无穷小 $\ln x\sim x-1$、$\sin x\sim x$；而真正的「陷阱」在 $x=1$：绝对值 $|x-1|$ 让左右极限分别是 $-\sin 1$ 与 $\sin 1$，符号相反造成跳跃。$x=0$ 处 $x\ln |x|\to 0$ 说明极限存在只是没定义，属可去。

本题考查间断点的判定与分类。 使函数无定义的点是 $x=0$ 与 $x=1$，逐一考察左右极限。

在 $x=1$ 处：当 $x\to 1$ 时 $\ln |x|=\ln x\to 0$，$|x-1|$ 在两侧符号不同。
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\ln x}{1-x}\sin x=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1)}{1-x}\sin x=-\sin 1,$$
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}\sin x=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)}{x-1}\sin x=\sin 1.$$
（用了 $x\to 1$ 时 $\ln x=\ln [1+(x-1)]\sim x-1$。）左右极限都存在但不相等，故 $x=1$ 是跳跃间断点。

在 $x=0$ 处：当 $x\to 0$ 时 $|x-1|\to 1$，$\sin x\sim x$，于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln |x|}{1}\cdot \sin x=\underset{x\to 0}{\lim }x\ln |x|=0.$$
左右极限都为 $0$（存在且相等），但 $f(0)$ 无定义，故 $x=0$ 是可去间断点。

综上，$f(x)$ 恰有 $1$ 个可去间断点（$x=0$）和 $1$ 个跳跃间断点（$x=1$）。故应选 A。