2008 年考研数学（二） 第 3 题

这是「通解 → 方程」的逆向题，套路固定：先从通解的每一项读出特征根（指数项给实根，正余弦项给纯虚根 $\pm \beta i$），把根乘成特征多项式 $(\lambda -1)({\lambda }^2+4)$，展开得 ${\lambda }^3-{\lambda }^2+4\lambda -4$，最后逐项翻译回导数即可。留心符号：$({\lambda }^2+4)$ 展开是 $+4$，与 $(\lambda -1)$ 相乘后 ${\lambda }^2$ 前是 $-1$、$\lambda$ 前是 $+4$、常数是 $-4$，对应 D。

本题考查由通解反推常系数齐次线性微分方程。 由通解形式读出特征根，再写出特征方程与微分方程。

通解 $y=C_1{e}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$ 中，$e^x$ 对应特征根 ${\lambda }_1=1$；$\cos 2x,\sin 2x$ 对应一对共轭虚根 ${\lambda }_{2,3}=\pm 2i$。故特征方程为
$$(\lambda -1)({\lambda }^2+4)=0,\text{即}{\lambda }^3-{\lambda }^2+4\lambda -4=0.$$

把 ${\lambda }^k$ 换成 $y^{(k)}$，得对应的微分方程 $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-4y=0$。故应选 D。