2008 年考研数学（二） 第 2 题

看到 $\int x{f}^{\prime }(x)dx$ 这种「自变量乘导数」的结构，几乎条件反射地用分部积分把导数「移」回到 $f$ 上，得到 $af(a)-{\int }_0^{a}fdx$。接下来是一道「读图辨面积」题：$af(a)$ 是矩形面积、积分是曲边梯形面积，二者之差就是矩形里挖去曲边梯形后剩下的曲边三角形 $ACD$。注意区分「曲边」与「直边」——因为 $y=f(x)$ 是曲线，剩下的是曲边三角形而非直边三角形，故选 C 不选 D。

本题考查分部积分与定积分的几何意义。 用分部积分把 ${\int }_0^{a}x{f}^{\prime }(x)dx$ 化为面积的差。

由分部积分公式：
$${\int }_0^{a}x{f}^{\prime }(x)dx={\int }_0^{a}xdf(x)=xf(x){|}_0^a-{\int }_0^{a}f(x)dx=af(a)-{\int }_0^{a}f(x)dx.$$

其中 $af(a)$ 是矩形 $OBAC$ 的面积，${\int }_0^{a}f(x)dx$ 是曲线 $y=f(x)$ 下方的曲边梯形 $OBAD$ 的面积。二者相减，去掉曲边梯形后剩下的正是曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$（即线段 $AB$ 上方部分）与线段 $CA$、$CD$ 所围的曲边三角形 $ACD$ 的面积。故应选 C。