2008 年考研数学（二） 第 1 题

看到「多项式已知若干零点，问导数零点个数」，罗尔定理是首选：相邻两个零点之间必有一个 $f^{\prime }$ 的零点。本题的关键陷阱是 $x^2$ 这个因子——它使 $x=0$ 成为二重根，从而 $f^{\prime }(0)=0$ 也是一个零点，加上 $(0,1)$、$(1,2)$ 内各一个，正好凑够 $3$ 个；再用「三次多项式至多 $3$ 根」封顶，结论就唯一了。

本题考查导数零点个数的判定，用罗尔定理最快，也可直接求导后数根。

方法一（罗尔定理）：注意 $f(0)=f(1)=f(2)=0$。由罗尔定理，在 $(0,1)$、$(1,2)$ 内各存在一点 ${\xi }_1,{\xi }_2$，使 $f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime }({\xi }_2)=0$；又因 $x^2$ 是因子（$x=0$ 是 $f$ 的二重零点），故 $f^{\prime }(0)=0$。于是 $f^{\prime }(x)$ 至少有 $x=0,{\xi }_1,{\xi }_2$ 三个零点。而 $f(x)$ 是 $4$ 次多项式，$f^{\prime }(x)$ 是 $3$ 次多项式，至多 $3$ 个零点，故 $f^{\prime }(x)$ 恰有 $3$ 个零点。

方法二（直接求导）：
$$f^{\prime }(x)=2x(x-1)(x-2)+x^2(x-2)+x^2(x-1)=x(4x^2-9x+4).$$
$4x^2-9x+4=0$ 的判别式 $\Delta =81-64=17>0$，有两个不相等的实根 $\frac{9\pm \sqrt{17}}{8}$，再加 $x=0$，共 $3$ 个零点。故选 D。