2007 年考研数学（二） 第 23 题

「求两方程组的公共解」的通用转化：把它们的方程摞在一起组成大方程组，公共解 ⟺ 大方程组有解。于是问题变成含参数 $a$ 的相容性讨论——行化简后盯住主元里的参数因子 $(a-1)(a-2)$，它决定秩在何处「掉档」。$a=1$ 让两行同时归零、秩降到 $2$（无穷多解）；$a=2$ 恰好相容且秩满 $3$（唯一解）；其他值下系数秩 $3$ 但增广秩 $4$，不相容。分类讨论时务必回代验证每支的解。

本题考查公共解与含参数方程组的讨论。 方程组 ① 与 ② 有公共解，等价于把 ② 并入 ① 组成的新方程组 ③ 有解。

将 ①②联立成 ③（$4$ 个方程），其增广矩阵作初等行变换：
$$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ 1& 4& a^2& 0\\ 1& 2& 1& a-1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& a-1& 0\\ 0& 0& (a-1)(a-2)& 0\\ 0& 0& 1-a& a-1\end{array}\right).$$

当 $a=1$： $\bar{A}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。基础解系给出公共解
$$\mathbf{x}=C\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)(C\text{为任意常数}).$$

当 $a=2$： $\bar{A}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A)=r(\bar{A})=3$，有唯一公共解
$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right).$$

当 $a\ne 1$ 且 $a\ne 2$： 由第三、四行，$(a-1)(a-2)\ne 0$ 而末列 $a-1\ne 0$ 造成 $r(A)=3\ne r(\bar{A})=4$，方程组 ③ 无解，即 ①② 无公共解。综上，$a=1$ 或 $a=2$，公共解分别如上。