2007 年考研数学（二） 第 24 题

矩阵多项式的谱由「同一特征向量、特征值代入多项式」决定：$B=A^5-4A^3+E$ 的特征值就是把 $A$ 的每个 $\lambda$ 代进 $g(\lambda )={\lambda }^5-4{\lambda }^3+1$。妙在 $g(2)=g(-2)=1$——两个不同的 $\lambda$ 被映成同一个 $B$ 特征值，制造出二重特征值 $1$。因为 $A$（从而 $B$）实对称，属于不同特征值的特征向量正交，于是二重特征值的特征子空间就是 ${\alpha }_1$ 的正交补 $x_1-x_2+x_3=0$，任取两个无关解即可。最后 $B=P\Lambda P^{-1}$ 还原矩阵（用一般可逆 $P$ 或正交 $Q$ 都行）。

本题考查矩阵多项式的特征值/特征向量与实对称矩阵的对角化。 若 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，则对多项式 $g$ 有 $g(A)\mathbf{\alpha }=g(\lambda )\mathbf{\alpha }$，故 $A$ 的特征向量也是 $B=g(A)$ 的特征向量，特征值由 $g(\lambda )={\lambda }^5-4{\lambda }^3+1$ 决定。

（Ⅰ）由 $A{\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$（${\lambda }_1=1$），得
$$B{\mathbf{\alpha }}_1=(A^5-4A^3+E){\mathbf{\alpha }}_1=(1^5-4\cdot 1^3+1){\mathbf{\alpha }}_1=-2{\mathbf{\alpha }}_1,$$
故 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 是 $B$ 的属于特征值 ${\mu }_1=-2$ 的特征向量。

$B$ 的其余特征值：${\mu }_2=2^5-4\cdot 2^3+1=1$，${\mu }_3=(-2{)}^5-4(-2{)}^3+1=1$，即 ${\mu }_2={\mu }_3=1$。

因 $A$ 实对称，$B$ 也实对称。$B$ 属于 ${\mu }_2={\mu }_3=1$ 的特征向量与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 正交：${\mathbf{\alpha }}_1^T\mathbf{x}=x_1-x_2+x_3=0$，取线性无关解
$${\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$
于是 $B$ 属于 $-2$ 的全部特征向量为 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1(k_1\ne 0)$；属于 $1$ 的全部特征向量为 $k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3(k_2,k_3\text{不全为}0)$。

（Ⅱ）令 $P=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}BP=\mathrm{diag}(-2,1,1)$，故
$$B=P\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right).$$