2007 年考研数学（二） 第 22 题

分段函数的二重积分，先「切区域、用对称」：函数在 $|x|+|y|\le 1$ 与其外圈用不同表达式，且四个象限对称，故乘 $4$ 只算第一象限。内三角上是多项式 $x^2$，直角坐标最省事；外圈含 $\sqrt{x^2+y^2}$，是极坐标的强烈信号——换极坐标后被积 $\frac{1}{r}\cdot rdr=dr$，径向积分瞬间变成常数长度差，只剩对 $\theta$ 的积分 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sin \theta +\cos \theta }$，再用 $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$ 化成标准 $\csc$ 积分。

本题考查分段函数二重积分，利用对称性 + 极坐标。 被积函数与积分域都关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称，且两段表达式在符号翻转下不变，故可只在第一象限计算再乘 $4$。

记第一象限内两块区域
$$D_1=\{x+y\le 1,x\ge 0,y\ge 0\},D_2=\{1\le x+y\le 2,x\ge 0,y\ge 0\},$$
则 $I={\iint }_{D}f=4({\iint }_{D_1}{x}^{2}d\sigma +{\iint }_{D_2}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}d\sigma ).$

内层三角形 $D_1$（直角坐标）：
$${\iint }_{D_1}{x}^{2}d\sigma ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}{x}^{2}dy={\int }_0^1{x}^2(1-x)dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.$$

外层区域 $D_2$（极坐标）：直线 $x+y=1,x+y=2$ 化为 $r=\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$ 与 $r=\frac{2}{\cos \theta +\sin \theta }$，被积 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot rdr=dr$，故
$${\iint }_{D_2}\frac{d\sigma }{\sqrt{x^2+y^2}}={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}^{\frac{2}{\cos \theta +\sin \theta }}dr={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sin \theta +\cos \theta }.$$

由 $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$：
$${\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\ln \right|\csc (\theta +\frac{\pi }{4})-\cot (\theta +\frac{\pi }{4})|{]}_0^{\pi /2}=\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2}).$$

合并：
$$I=4(\frac{1}{12}+\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2}))=\frac{1}{3}+4\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2}).$$