2007 年考研数学（二） 第 21 题

证 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$，先令 $h=f-g$ 归结为 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$。证「二阶导有零点」的通用套路是「找到三个使 $h=0$ 的点，两次罗尔」。端点自带两个零点，难点是造出第三个内部零点——这正是「相等的最大值」条件的用武之地：若两函数在同一点取最大值，那里 $h=0$；若在不同点，则 $h$ 在这两点异号（一处 $\ge 0$、一处 $\le 0$），介值定理保证中间有零点。抓住「最大值相等 ⟹ 内部零点」这条线索即可。

本题考查用罗尔定理证明 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$ 型命题。 令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 内二阶可导，且由端点条件 $h(a)=h(b)=0$。目标化为证存在 $\xi$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$。关键是在 $(a,b)$ 内再找到一个使 $h$ 取零的内点。

设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内相等的最大值为 $M$，且 $M=f(x_1)=\underset{[a,b]}{\max }f$，$M=g(x_2)=\underset{[a,b]}{\max }g$，其中 $x_1,x_2\in (a,b)$，不妨设 $x_1\le x_2$。

情形一：$x_1=x_2$。 则 $h(x_1)=f(x_1)-g(x_1)=M-M=0$，于是 $h(a)=h(x_1)=h(b)=0$。对 $h$ 在 $[a,x_1]$、$[x_1,b]$ 上分别用罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (a,x_1)$、${\xi }_2\in (x_1,b)$ 使 $h^{\prime }({\xi }_1)=h^{\prime }({\xi }_2)=0$；再对 $h^{\prime }$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上用罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$。

情形二：$x_1<x_2$。 此时 $h(x_1)=f(x_1)-g(x_1)=M-g(x_1)\ge 0$，$h(x_2)=f(x_2)-g(x_2)=f(x_2)-M\le 0$。若某端已为 $0$ 则取到零点；否则 $h(x_1)>0,h(x_2)<0$，由介值（零点）定理存在 $c\in (x_1,x_2)$ 使 $h(c)=0$。于是 $h(a)=h(c)=h(b)=0$，同情形一，两次罗尔定理给出 $\xi \in (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$。

综上，无论哪种情形，都存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。证毕。