2007 年考研数学（二） 第 20 题

多层复合又带隐函数，先把「数值弹药」备齐：$x=0$ 处的 $y=1,y^{\prime }=1,y^{\prime \prime }=2$。求 $z$ 的导数时内层组合 $\frac{1}{y}{y}^{\prime }-\cos x$ 在 $x=0$ 恰好等于 $0$，这个「零因子」是全题枢纽——它让一阶导直接为 $0$，又让二阶导里带 $f^{\prime \prime }$ 的项（系数是该因子的平方）整体消失，最终 $\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=f^{\prime }(0)\cdot (-1+2)=1$。所以哪怕 $f^{\prime \prime }$ 未知也不影响结果，$f^{\prime }(0)=1$ 足矣。

本题考查隐函数求导与复合函数的一、二阶导数。 先由隐方程求出 $x=0$ 处的 $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$，再对 $z=f(\ln y-\sin x)$ 求导。

定初值与 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$：把 $x=0$ 代入 $y-x{e}^{y-1}=1$ 得 $y=1$。对方程两端关于 $x$ 求导：
$$\frac{dy}{dx}-e^{y-1}-x{e}^{y-1}\frac{dy}{dx}=0.$$
代入 $x=0,y=1$：$\frac{dy}{dx}-1-0=0$，得 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=1$。再求导一次并代入 $x=0,y=1,y^{\prime }=1$，可解出 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{x=0}=2$。

一阶导数：$z=f(\ln y-\sin x)$，记 $\phi =\ln y-\sin x$，则
$$\frac{dz}{dx}=f^{\prime }(\phi )(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-\cos x).$$
在 $x=0$ 处 $\phi =\ln 1-0=0$，$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-\cos x=\frac{1}{1}\cdot 1-1=0$，故
$${\frac{dz}{dx}|}_{x=0}=f^{\prime }(0)\cdot 0=0.$$

二阶导数：对 $\frac{dz}{dx}=f^{\prime }(\phi )(\frac{1}{y}{y}^{\prime }-\cos x)$ 再求导：
$$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=f^{\prime \prime }(\phi )(\frac{1}{y}{y}^{\prime }-\cos x{)}^2+f^{\prime }(\phi )[-\frac{1}{y^2}(y^{\prime }{)}^2+\frac{1}{y}{y}^{\prime \prime }+\sin x].$$
代入 $x=0$：$\phi =0,y=1,y^{\prime }=1,y^{\prime \prime }=2$。第一项因子 $(\frac{1}{1}\cdot 1-1{)}^2=0$ 消失；第二项括号为 $-1+2+0=1$，故
$${\frac{d^{2}z}{d{x}^2}|}_{x=0}=f^{\prime \prime }(0)\cdot 0+f^{\prime }(0)\cdot 1=f^{\prime }(0)=1.$$