2007 年考研数学（二） 第 19 题

「不显含 $y$」的二阶方程令 $p=y^{\prime }$ 降阶是标准第一步。本题的巧思在于降阶后 $(x+p^2)\frac{dp}{dx}=p$ 若解 $p=p(x)$ 会很别扭，而把角色对调、视 $x$ 为 $p$ 的函数，方程立刻变成漂亮的一阶线性方程 $\frac{dx}{dp}-\frac{1}{p}x=p$。这种「自变量与因变量互换」的技巧，专治「$x$ 与 $p$ 混在一起、对 $p$ 却是线性」的情形。定出 $x=p^2$ 后回到 $\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}$ 再积一次即可。

本题考查可降阶的高阶微分方程（不显含 $y$ 型）。 令 $p=y^{\prime }$，把方程降为关于 $p$ 的一阶方程；此处需把 $x$ 视为 $p$ 的函数。

令 $y^{\prime }=p$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$。原方程化为 $(x+p^2)\frac{dp}{dx}=p$。为便于求解，改把 $x$ 看作 $p$ 的函数，两端取倒数关系 $\frac{dx}{dp}=\frac{x+p^2}{p}$，整理成一阶线性方程
$$\frac{dx}{dp}-\frac{1}{p}x=p.$$

用积分因子 $e^{\int -\frac{1}{p}dp}=\frac{1}{p}$ 求解：
$$x=(\int p\cdot \frac{1}{p}dp+C_1)\cdot p=(\int 1dp+C_1)p=(p+C_1)p.$$

定 $C_1$：初值点 $x=1$ 处 $p=y^{\prime }(1)=1$，代入 $1=(1+C_1)\cdot 1$ 得 $C_1=0$。于是 $x=p^2$，即 $p=\sqrt{x}$（初值 $p>0$，取正根），也就是 $\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}$。

积分：$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C_2$。由 $y(1)=1$ 得 $1=\frac{2}{3}+C_2$，$C_2=\frac{1}{3}$。故所求特解为
$$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{3}.$$