2007 年考研数学（二） 第 18 题

无界区域绕 $x$ 轴的旋转体，圆盘法直接给出反常积分 $\pi {\int }_0^{\infty }{y}^{2}dx$。关键化简是把底为 $a$ 的指数换成自然指数 $e^{-kx}$，这样就能套 Gamma 型积分 ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-kx}dx=1/k^2$，避免分部积分出错。第二问是「体积作为参数 $a$ 的函数求最小」，本质是一元函数求最值：求导、$\ln a-1$ 变号点在 $a=e$，且左减右增确认是最小值。$V(e)=\pi e^2$ 简洁得益于 $\ln e=1$。

本题考查旋转体体积（含反常积分）与最值。 第（Ⅰ）问用圆盘法写出反常积分并求出 $V(a)$；第（Ⅱ）问对 $V(a)$ 求导找最值。

（Ⅰ）由圆盘法，$V(a)=\pi {\int }_0^{+\infty }{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{+\infty }(\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{2a}}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{+\infty }x{a}^{-\frac{x}{a}}dx.$

记 $a^{-x/a}=e^{-\frac{\ln a}{a}x}$，令 $k=\frac{\ln a}{a}>0$（因 $a>1$）。利用 ${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-kx}dx=\frac{1}{k^2}$，得
$$V(a)=\pi \cdot \frac{1}{k^2}=\pi \cdot \frac{a^2}{{\ln }^{2}a}=\frac{\pi a^2}{{\ln }^{2}a}.$$

（Ⅱ）对 $V(a)=\pi a^2(\ln a{)}^{-2}$ 求导：
$$V^{\prime }(a)=\pi [2a(\ln a{)}^{-2}+a^2\cdot (-2)(\ln a{)}^{-3}\cdot \frac{1}{a}]=\frac{2\pi a(\ln a-1)}{{\ln }^{3}a}.$$
在 $a>1$ 时 $\ln a>0$，令 $V^{\prime }(a)=0$ 得 $\ln a=1$，即 $a=e$。

判别单调性：当 $a\in (1,e)$ 时 $\ln a-1<0$，$V^{\prime }(a)<0$；当 $a>e$ 时 $\ln a-1>0$，$V^{\prime }(a)>0$。故 $a=e$ 是极小值点也是最小值点，
$$V(e)=\frac{\pi e^2}{{\ln }^{2}e}=\pi e^2.$$