2007 年考研数学（二） 第 17 题

含变限积分与反函数的方程，标准动作是「两端求导」。左端 ${\int }_0^{f(x)}{f}^{-1}(t)dt$ 求导得 $f^{-1}(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$，而 $f^{-1}(f(x))=x$ 这一步把复杂的反函数一举消掉，只剩 $x{f}^{\prime }(x)=x\cdot (\cdots )$，约去 $x$ 得到 $f^{\prime }$。最后一步的信号很强：$\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$ 的分子正是分母的导数，是 $\frac{g^{\prime }}{g}$ 型，原函数必是 $\ln |g|$。用 $x=0$ 定出 $C=0$。

本题考查变限积分求导与反函数的性质。 对等式两端关于 $x$ 求导，利用 $f^{-1}[f(x)]=x$ 化简。

两端对 $x$ 求导。左端是以 $f(x)$ 为上限的变限积分，按复合求导得 $f^{-1}[f(x)]\cdot f^{\prime }(x)$；右端上限为 $x$，直接得被积函数在 $t=x$ 的值：
$$f^{-1}[f(x)]f^{\prime }(x)=x\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}.$$

由 $f^{-1}[f(x)]=x$，两端消去 $x$（在 $x\ne 0$ 时，再由连续性推广到 $x=0$）得
$$f^{\prime }(x)=\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}.$$

注意分子恰为分母的导数：$(\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\cos x-\sin x$，故
$$f(x)=\int \frac{(\sin x+\cos x{)}^{\prime }}{\sin x+\cos x}dx=\ln (\sin x+\cos x)+C.$$

定常数：在原方程中令 $x=0$，右端 ${\int }_0^0(\cdots )dt=0$，左端 ${\int }_0^{f(0)}{f}^{-1}(t)dt=0$，结合 $f$ 单调可推出 $f(0)=0$。代入 $f(0)=\ln (0+1)+C=C=0$，故 $C=0$。所以
$$\boxed{f(x)=\ln (\sin x+\cos x)}.$$