2007 年考研数学（二） 第 16 题

移位矩阵的幂看「$1$ 那条斜线往哪跑」：$A$ 的 $1$ 在第一条上次对角线，$A^2$ 移到第二条，$A^3$ 移到右上角只剩一个元。秩就是非零行（或列）的个数，故 $r(A^3)=1$。这类幂零矩阵（$A^4=0$）的秩随幂次递减 $3\to 2\to 1\to 0$，是常考的直观题，动手乘两三步比套定理更快。

本题考查矩阵的幂运算与秩。 $A$ 是「上移一位」的移位矩阵，直接算 $A^3$ 即可。

逐次相乘（每乘一次 $A$，非零对角线向右上移一格）：
$$A^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

$A^3$ 只有第 $1$ 行第 $4$ 列一个非零元，只有一个非零行，故 $r(A^3)=1$。