2007 年考研数学（二）第 15 题

填空题 · 4 分

设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

___。

提示 1

设中间变量

u = \frac{y}{x}

、

v = \frac{x}{y}

，用链式法则：

z_{x} = f_{1}^{'} u_{x} + f_{2}^{'} v_{x}

。

提示 2

注意

u_{x} = - \frac{y}{x ^{2}}

、

v_{x} = \frac{1}{y}

；

u_{y} = \frac{1}{x}

、

v_{y} = - \frac{x}{y ^{2}}

。

提示 3

代入

x z_{x} - y z_{y}

，含

f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

的项各自同号相加、翻倍。

答案与详解

答案 $- \frac{2 y}{x} f_{1}^{'} + \frac{2 x}{y} f_{2}^{'}$

思路（为什么这么做）

抽象复合函数求偏导，先固定记号

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

表示对第一、第二自变量的偏导，再机械地套链式法则。此题的巧处在于

u = \frac{y}{x}

与

v = \frac{x}{y}

互为倒数、结构对称，导致

x z_{x}

与

- y z_{y}

里的

f_{1}^{'}

项同为

- \frac{y}{x} f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

项同为

+ \frac{x}{y} f_{2}^{'}

，相加后系数翻倍成

- \frac{2 y}{x} f_{1}^{'} + \frac{2 x}{y} f_{2}^{'}

。看到「

x z_{x} \pm y z_{y}

」这种齐次算子，通常都会出现这种整齐的合并。

解答

本题考查多元复合函数求偏导。 记

u = \frac{y}{x}, v = \frac{x}{y}

，

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

。

分别对

x

、

y

求偏导（用链式法则）：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot (- \frac{y}{x ^{2}}) + f_{2}^{'} \cdot \frac{1}{y} = - \frac{y}{x ^{2}} f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'},

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot \frac{1}{x} + f_{2}^{'} \cdot (- \frac{x}{y ^{2}}) = \frac{1}{x} f_{1}^{'} - \frac{x}{y ^{2}} f_{2}^{'} .

代入所求组合：

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = (- \frac{y}{x} f_{1}^{'} + \frac{x}{y} f_{2}^{'}) - (\frac{y}{x} f_{1}^{'} - \frac{x}{y} f_{2}^{'}) = - \frac{2 y}{x} f_{1}^{'} + \frac{2 x}{y} f_{2}^{'} .

2007 年考研数学（二） 第 15 题