2007 年考研数学（二） 第 14 题

常系数非齐次线性方程「三步走」：解特征方程写齐次通解、按自由项形式设特解、代入定系数。此题指数 $2$ 恰好「不撞」特征根 $1,3$，所以特解形式最简单的 $a{e}^{2x}$ 即可（若撞根才需乘 $x$）。代入后 ${\lambda }^2-4\lambda +3$ 在 $\lambda =2$ 的取值 $4-8+3=-1$ 就是 $a$ 前面的系数，故 $-a=2$、$a=-2$。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。 通解 = 齐次通解 + 一个特解。

齐次方程 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-4\lambda +3=0$，特征根 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$，故齐次通解为
$$Y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}.$$

求特解：自由项为 $2e^{2x}$，因 $2$ 不是特征根，设 $y_0=a{e}^{2x}$。代入原方程：
$$4a{e}^{2x}-8a{e}^{2x}+3a{e}^{2x}=-a{e}^{2x}=2e^{2x}\Rightarrow a=-2,$$
即特解 $y_0=-2e^{2x}$。

故通解为
$$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}-2e^{2x}(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$