2007 年考研数学（二） 第 13 题

求 $y^{(n)}(0)$ 有两条路：一是直接对 $(2x+3{)}^{-1}$ 归纳出 $n$ 阶导公式，注意三个来源——链式带来的 $2^n$、幂函数求导带来的 $(-1{)}^{n}n!$、以及指数变成 $-(n+1)$；二是用麦克劳林级数，$x^n$ 系数乘 $n!$ 就是 $y^{(n)}(0)$。两法都指向 $\frac{(-1{)}^n{2}^{n}n!}{3^{n+1}}$。这类「有理分式的高阶导」优先想通项公式而非硬求。

本题考查 $n$ 阶导数。 对形如 $(ax+b{)}^{-1}$ 的函数，反复求导有通用公式。

由 $y=(2x+3{)}^{-1}$，逐次求导得
$$y^{\prime }=-2(2x+3{)}^{-2},y^{\prime \prime }=(-1{)}^2{2}^2\cdot 2!(2x+3{)}^{-3},\cdots ,$$
一般地
$$y^{(n)}=(-1{)}^n{2}^{n}n!(2x+3{)}^{-(n+1)}.$$

代入 $x=0$：
$$y^{(n)}(0)=(-1{)}^n{2}^{n}n!\cdot 3^{-(n+1)}=\frac{(-1{)}^n{2}^{n}n!}{3^{n+1}}.$$

（也可用麦克劳林展开验证：$y=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1+\frac{2x}{3}}=\frac{1}{3}{\sum }_{k\ge 0}(-1{)}^k(\frac{2x}{3}{)}^k$，$x^n$ 的系数为 $\frac{(-1{)}^n{2}^n}{3^{n+1}}$，乘 $n!$ 即得 $y^{(n)}(0)$。）