2007 年考研数学（二） 第 12 题

参数曲线问「法线斜率」，套路是先 $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$ 得切线斜率，再取负倒数。两处易错点：一是 $\frac{d}{dt}{\cos }^{2}t=-2\cos t\sin t=-\sin 2t$ 别漏链式；二是最后有理化 $-\frac{1}{1-\sqrt{2}}$ 时分母乘共轭得 $\sqrt{2}+1$。切线斜率算成 $1-\sqrt{2}$ 后，负倒数正好把它翻成 $\sqrt{2}+1$。

本题考查参数方程求导及法线斜率。 先由 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 求切线斜率，法线斜率为其负倒数。

求导数：$\frac{dx}{dt}=-\sin t-2\cos t\sin t=-\sin t-\sin 2t$，$\frac{dy}{dt}=\cos t$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t-\sin 2t}.$$

代入 $t=\frac{\pi }{4}$：$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \frac{\pi }{2}=1$，
$${\frac{dy}{dx}|}_{t=\pi /4}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=-\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1-\sqrt{2}(\text{切线斜率}).$$

法线斜率为切线斜率的负倒数：
$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1.$$