2007 年考研数学（二） 第 11 题

$\frac{0}{0}$ 型且分母是 $x^3$，泰勒展开最干净。要点是「展开到与分母同阶」：$\arctan$ 与 $\sin$ 的一次项都是 $x$、相减抵消，胜负手在三次项系数 $-\frac{1}{3}$ 与 $-\frac{1}{6}$。顺带一个好用的结论：$x\to 0$ 时 $x,\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x$ 中任意两个之差都是 $x^3$ 阶无穷小，遇到这类差直接展三阶即可。

本题考查泰勒（麦克劳林）展开求 $\frac{0}{0}$ 型极限。 分母是 $x^3$，故把分子各项展到 $x^3$ 阶即可。

由麦克劳林公式
$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3),\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$
相减得
$$\arctan x-\sin x=(-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})x^3+o(x^3)=-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=-\frac{1}{6}.$$