2007 年考研数学（二） 第 10 题

「合同还是相似」是实对称矩阵的经典二选一，抓两把标尺：相似看特征值本身，合同只看正负号的个数（惯性指数）。$A$ 的特征值 $0,3,3$ 与 $B$ 的 $1,1,0$ 数值不等，相似立刻出局；但两者都是「$2$ 正 $0$ 负 $1$ 零」，惯性指数一致，故合同。这题的价值在于强调：合同比相似「宽松」——合同只要求符号分布相同，允许特征值大小不同。

本题考查实对称矩阵的合同与相似关系。 相似的充要条件是特征值相同；合同（对实对称矩阵）的充要条件是正、负惯性指数（正、负特征值个数）相同。

求 $A$ 的特征值：
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 1& 1\\ 1& \lambda -2& 1\\ 1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=\lambda (\lambda -3{)}^2=0,$$
得 $A$ 的特征值为 $0,3,3$。而 $B$ 的特征值显然为 $1,1,0$。

相似判定：$A$ 与 $B$ 特征值不同（$\{0,3,3\}\ne \{1,1,0\}$），故 $A$ 与 $B$ 不相似。

合同判定：$A$、$B$ 都是实对称矩阵，正特征值个数均为 $2$、负特征值个数均为 $0$（惯性指数相同），故 $A$ 与 $B$ 合同。综上应选 B。