2007 年考研数学（二） 第 9 题

循环差 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$ 是线代里的经典「相关」构造：三者相加恰好抵消为零，系数矩阵行列式必为 $0$。识别信号——凡是「循环作差且系数相同」，一眼就是相关。而循环作「和」或带系数 $2$ 的组合，其系数行列式形如 $1\pm (\pm 1{)}^3\cdot (\text{系数}{)}^3$，一般非零，仍无关。所以看到 A 的结构直接下手最快。

本题考查向量组线性相关性的判定。 新向量组是 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 的线性组合，可写成 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)K$，其相关性由过渡矩阵 $K$ 的行列式是否为 $0$ 决定。

对 A，最直接：$({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，存在非零系数 $(1,1,1)$ 使线性组合为零向量，故这三个向量线性相关。A 即为所求。

验证其余：以 D 为例，$({\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3+2{\mathbf{\alpha }}_1)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$，其系数行列式 $=1+8=9\ne 0$；同理 B 的行列式为 $2$、C 的为 $-7$，均非零。因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 无关，B、C、D 仍线性无关。故应选 A。