2007 年考研数学（二） 第 8 题

交换积分次序的关键是把边界曲线在正确的分支上反解。这里 $x$ 落在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$，而 $\arcsin$ 的主值只给 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 的角，所以不能直接写 $x=\arcsin y$；用 $\sin x=\sin (\pi -x)$ 把角搬到第一象限，得 $x=\pi -\arcsin y$。选项 A 的 $\pi +\arcsin y$、D 的上限方向都是在这个反解分支上设的陷阱。

本题考查二次积分交换积分次序。 先由内外限还原积分区域 $D$，再改写为先 $x$ 后 $y$。

原积分的区域为 $D=\{(x,y)|\frac{\pi }{2}\le x\le \pi ,\sin x\le y\le 1\}$。在 $x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上，$y=\sin x$ 从 $1$ 递减到 $0$，区域是曲线 $y=\sin x$、直线 $y=1$、$x=\pi$ 所围。

改为先对 $x$ 积分：$y$ 的范围是 $0\le y\le 1$。对固定的 $y$，由 $y=\sin x$ 且 $x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 解出左边界。因为 $\pi -x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 且 $\sin x=\sin (\pi -x)=y$，得 $\pi -x=\arcsin y$，即 $x=\pi -\arcsin y$；右边界为 $x=\pi$。于是
$$D=\{(x,y)\mid \pi -\arcsin y\le x\le \pi ,0\le y\le 1\}.$$

故
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }dx{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)dy={\int }_0^{1}dy{\int }_{\pi -\arcsin y}^{\pi }f(x,y)dx,$$
应选 B。