2007 年考研数学（二） 第 7 题

判断可微的充分条件，要死扣定义 $\Delta z=Ax+By+o(\rho )$。选项按「强度」递增设陷阱：A 只给连续、B 只给可偏导——这两个都弱于可微。C 直接说增量是 $o(\rho )$，正是 $A=B=0$ 的可微形态，一击命中。D 最迷惑：它给的是 $f_x^{\prime }(x,0)$ 沿 $x$ 轴、$f_y^{\prime }(0,y)$ 沿 $y$ 轴的连续，而可微需要偏导作为二元函数在点处连续（充分条件），二者不是一回事。

本题考查二元函数可微的概念。 可微的定义是 $\Delta z=f(x,y)-f(0,0)=Ax+By+o(\rho )$，其中 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。

分析 C：由 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 得 $f(x,y)-f(0,0)=o(\rho )$，即 $\Delta z=0\cdot x+0\cdot y+o(\rho )$。这正是可微定义中取 $A=B=0$ 的情形，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微（且两个一阶偏导都为 $0$）。C 是充分条件。

排除其余：A 只说明 $f$ 在 $(0,0)$ 连续，连续不一定可微；B 只说明两个偏导 $f_x^{\prime }(0,0)=f_y^{\prime }(0,0)=0$ 存在，可偏导不一定可微；D 说明的是一元函数 $f_x^{\prime }(x,0)$、$f_y^{\prime }(0,y)$ 分别在 $x=0$、$y=0$ 处连续，这不同于偏导数作为二元函数在 $(0,0)$ 处连续，故不能保证可微。应选 C。