2007 年考研数学（二） 第 6 题

「凸函数生成的数列敛散」题，先反例后证明。$f^{\prime \prime }>0$ 的几何含义是 $f^{\prime }$ 递增，即相邻差 $u_{k+1}-u_k=f^{\prime }({\xi }_k)$ 越来越大。一旦 $u_1<u_2$（首个差为正），后面的差只会更大，累加必然冲向 $+\infty$，故发散。A、B、C 用三个标准反例排除即可，说明单看 $u_1,u_2$ 的大小、不结合「差单调增」这一凸性本质，是无法判定的。

本题考查凸函数（$f^{\prime \prime }>0$）与数列敛散性。 可用反例排除，再对正确项给出证明。

用反例排除 A、B、C：
取 $f(x)=-\ln x$，$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$，$u_1=0>u_2=-\ln 2$，但 $u_n=-\ln n\to -\infty$ 发散——A 错；
取 $f(x)=\frac{1}{x}$，$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}>0$，$u_1=1>u_2=\frac{1}{2}$，但 $u_n=\frac{1}{n}\to 0$ 收敛——B 错；
取 $f(x)=x^3$，$f^{\prime \prime }(x)=6x>0$，$u_1=1<u_2=8$，但 $u_n=n^3\to +\infty$ 发散——C 错。

证明 D：由 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 知 $f^{\prime }(x)$ 单调增。对相邻项用拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_1\in (1,2),{\xi }_2\in (2,3),\cdots$ 使 $u_{k+1}-u_k=f^{\prime }({\xi }_k)$，且 $f^{\prime }({\xi }_1)<f^{\prime }({\xi }_2)<\cdots$。累加得
$$u_n=u_1+\sum _{k=1}^{n-1}{f}^{\prime }({\xi }_k)\ge u_1+(n-1)f^{\prime }({\xi }_1).$$
当 $u_1<u_2$ 时 $f^{\prime }({\xi }_1)=u_2-u_1>0$，故 $u_n\ge u_1+(n-1)(u_2-u_1)\to +\infty$，即 $\{u_n\}$ 必发散。应选 D。