2007 年考研数学（二） 第 5 题

渐近线题要「三向都查」：间断点查铅直，$x\to \pm \infty$ 各查一次水平或斜。关键在 $\ln (1+e^x)$ 的两端行为不对称——$x\to -\infty$ 时它趋于 $0$（给水平线 $y=0$），$x\to +\infty$ 时它约等于 $x$（给斜线 $y=x$，因为 $\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$）。再加上 $x=0$ 的铅直线，恰好三条。容易漏的是把 $+\infty$ 与 $-\infty$ 当成同一种情形。

本题考查曲线的渐近线（铅直、水平、斜）。 分别在间断点、$x\to \pm \infty$ 处考查。

铅直渐近线：$x=0$ 是间断点，$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x))=\infty$，故 $x=0$ 为铅直渐近线。

水平渐近线：当 $x\to -\infty$，$\frac{1}{x}\to 0$，$\ln (1+e^x)\to \ln 1=0$，故 $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$，得水平渐近线 $y=0$。

斜渐近线：当 $x\to +\infty$，$\lim \frac{y}{x}=\lim (\frac{1}{x^2}+\frac{\ln (1+e^x)}{x})=1$，且
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{1+e^x}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (1+e^{-x})=0,$$
故 $y=x$ 为斜渐近线。

综上，曲线共有 $x=0$、$y=0$、$y=x$ 三条渐近线，应选 D。