2007 年考研数学（二） 第 4 题

这类「哪个命题错」的题，正面证三条、反例毙一条最省力。$\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 是对称（中心差商）形式，它只感知函数的「奇部」，对 $f(x)=|x|$ 这种偶函数恒为 $0$，因而极限存在却与可导性无关——这正是 D 的漏洞：中心差商存在不能保证 $f_{+}^{\prime }(0)=f_{-}^{\prime }(0)$。记住 $|x|$ 这个反例，可导性判断题常用它。

本题考查函数的连续性与可导性的关系。 逐项判断，找出唯一不成立的命题。

A 正确：由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在且分母 $\to 0$，必有分子 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$；再由连续性 $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。

B 正确：同理 $\underset{x\to 0}{\lim }[f(x)+f(-x)]=0$，由连续性此极限等于 $2f(0)$，故 $2f(0)=0$，$f(0)=0$。

C 正确：由 A 已知 $f(0)=0$，于是 $\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$，其极限存在即 $f^{\prime }(0)$ 存在。

D 错误：取反例 $f(x)=|x|$，它在 $x=0$ 连续。此时 $f(x)-f(-x)=|x|-|-x|=0$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(-x)}{x}=0$ 存在，但 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，$f^{\prime }(0)$ 不存在。故 D 是错误命题，应选 D。