2007 年考研数学（二） 第 3 题

看到「$F(x)={\int }_0^{x}f$ + 奇偶对称的图形」，第一反应是判断 $F$ 的奇偶性：奇函数的变限积分是偶函数，于是所有 $F(-a)$ 都能换成 $F(a)$。再用定积分的几何意义把各段半圆面积按上正下负累加：直径 $2$ 的半圆面积 $\frac{\pi }{2}$，直径 $1$ 的半圆面积 $\frac{\pi }{8}$。得到 $F(2)=\frac{\pi }{2}$、$F(3)=\frac{3\pi }{8}$ 后逐项代入，只有 $F(-3)=\frac{3}{4}F(2)$ 成立。

本题考查定积分的几何意义与变限积分的奇偶性。 曲线在 $x$ 轴上方时定积分取正（等于面积），在下方时取负。由图形关于原点对称知 $f(x)$ 为奇函数，从而 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 为偶函数，即 $F(-x)=F(x)$。

按半圆面积逐段计算：
$$F(2)={\int }_0^{2}f=+\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{2}(\text{直径 }2\text{、半径 }1\text{ 的上半圆})\text{，}$$
$${\int }_2^{3}f=-\frac{1}{2}\pi \cdot (\frac{1}{2}{)}^2=-\frac{\pi }{8}(\text{直径 }1\text{ 的下半圆})\text{，}$$
故 $F(3)=F(2)+{\int }_2^{3}f=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}$。

由 $F$ 是偶函数，$F(-3)=F(3)=\frac{3\pi }{8}$，$F(-2)=F(2)=\frac{\pi }{2}$。逐项检验：
$$F(-3)=\frac{3\pi }{8},\frac{3}{4}F(2)=\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}.$$
二者相等，故 $F(-3)=\frac{3}{4}F(2)$ 成立，应选 C。（A、B、D 代入数值均不成立。）