2007 年考研数学（二） 第 2 题

分类间断点先定位所有「嫌疑点」，再逐点算左右极限。此题的核心陷阱是 $e^{1/x}$ 在 $x=0$ 两侧行为迥异：右侧爆炸、左侧趋零，使 $\frac{e^{1/x}+e}{e^{1/x}-e}$ 的极限左右差一个符号，配合 $\frac{\tan x}{x}\to 1$ 得到左右极限 $-1$ 与 $1$——都存在却不相等，正是跳跃（第一类）。而 $x=1$、$x=\pm \frac{\pi }{2}$ 处函数无界，属第二类，直接排除。

本题考查间断点的分类。 第一类间断点要求左、右极限都存在（可去或跳跃）；使分母为零或 $\tan x$ 无界的点都要逐一考查。

分母为零的点：$x=0$（因 $x$ 因子）与 $e^{1/x}=e$ 即 $x=1$；$\tan x$ 无界的点：$x=\pm \frac{\pi }{2}$。

考查 $x=0$：注意 $x\to 0^{+}$ 时 $e^{1/x}\to +\infty$，$\frac{e^{1/x}+e}{e^{1/x}-e}\to 1$；$x\to 0^{-}$ 时 $e^{1/x}\to 0$，$\frac{e^{1/x}+e}{e^{1/x}-e}\to \frac{e}{-e}=-1$。又 $\frac{\tan x}{x}\to 1$，故
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1.$$
左右极限都存在但不相等，$x=0$ 是跳跃间断点（第一类）。

其余各点：$x=1$ 处分母趋于 $0$ 而分子非零，$f\to \infty$；$x=\pm \frac{\pi }{2}$ 处 $\tan x\to \infty$，$f\to \infty$，均为第二类（无穷）间断点。故第一类间断点是 $x=0$，应选 A。