2007 年考研数学（二） 第 1 题

求「与某无穷小等价」的选项，核心是比值趋于 $1$：既要同阶，还要系数恰为 $1$、符号为正。把 A、C、D 各自估阶后分别得到 $-\sqrt{x}$、$\frac{1}{2}\sqrt{x}$、$\frac{1}{2}x$，系数或符号或阶数都不对，立即排除。B 里 $x$ 与 $\sqrt{x}$ 相比是高阶，主项恰为 $\sqrt{x}$，比值为 $1$，这正是唯一等价项。

本题考查等价无穷小的判定。 「与 $\sqrt{x}$ 等价」要求该量与 $\sqrt{x}$ 之比的极限为 $1$，逐一用常见等价无穷小估阶即可。

逐项分析（$x\to 0^{+}$）：
$$1-e^{\sqrt{x}}\sim -\sqrt{x}(\text{比值}\to -1),\sqrt{1+\sqrt{x}}-1=(1+\sqrt{x}{)}^{1/2}-1\sim \frac{1}{2}\sqrt{x}(\text{比值}\to \frac{1}{2}),$$
$$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}(\sqrt{x}{)}^2=\frac{1}{2}x(\text{比 }\sqrt{x}\text{ 高阶，比值}\to 0).$$
故 A、C、D 均不与 $\sqrt{x}$ 等价。

对 B：$\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}=\ln (1+x)-\ln (1-\sqrt{x})$。由 $\ln (1+x)\sim x$，$\ln (1-\sqrt{x})\sim -\sqrt{x}$，得
$$\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\sim x+\sqrt{x}=\sqrt{x}(1+\sqrt{x})\sim \sqrt{x}.$$
即与 $\sqrt{x}$ 等价。故应选 B。