2006 年考研数学（二） 第 22 题

「有 $k$ 个线性无关解」是关于秩的强约束：非齐次组线性无关解个数 $\le (n-r(A))+1$。3 个线性无关解 $\Rightarrow 4-r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)\le 2$，再配「有两行不成比例」给出 $r(A)\ge 2$，双向夹逼得 $r(A)=2$。第二问反过来利用「秩为 2」——行化简后让第三行整体与第二行成比例，比例式一次性定出 $a,b$，随后常规写通解。

本题考查非齐次线性方程组解的结构与秩的关系。 记系数矩阵 $A$（$3\times 4$）。

（Ⅰ） 一方面，$A$ 的前两行不成比例（如第 1、2 行），故 $r(A)\ge 2$。
另一方面，设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为方程组 $AX=b$ 的三个线性无关解，则 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_3$ 是对应齐次方程 $AX=0$ 的解。设 $k_1({\alpha }_1-{\alpha }_2)+k_2({\alpha }_1-{\alpha }_3)=0$，即 $(k_1+k_2){\alpha }_1-k_1{\alpha }_2-k_2{\alpha }_3=0$；由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关得 $k_1=k_2=0$，故 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_3$ 线性无关，即 $AX=0$ 至少有 $2$ 个线性无关解，$4-r(A)\ge 2$，得 $r(A)\le 2$。
综上 $r(A)=2$。

（Ⅱ） 对增广矩阵作初等行变换（第 2 行减 $4$ 倍第 1 行，第 3 行减 $a$ 倍第 1 行）：
$$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& -1\\ 4& 3& 5& -1& -1\\ a& 1& 3& b& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& -1\\ 0& -1& 1& -5& 3\\ 0& 1-a& 3-a& b-a& 1+a\end{array}\right).$$
由 $r(A)=r(\bar{A})=2$，第 3 行必与第 2 行成比例：$\frac{1-a}{-1}=\frac{3-a}{1}=\frac{b-a}{-5}=\frac{1+a}{3}$，解得 $a=2,b=-3$。

代入并继续化简为行最简形：
$$\bar{A}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& -4& 2\\ 0& 1& -1& 5& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
即 $\{\begin{array}{l}{x}_1=2-2x_3+4x_4,\\ x_2=-3+x_3-5x_4,\end{array}$ 其中 $x_3,x_4$ 为自由未知量。

取特解（$x_3=x_4=0$）为 $(2,-3,0,0{)}^{\mathrm{T}}$；齐次基础解系（分别取 $x_3=1,x_4=0$ 与 $x_3=0,x_4=1$）为 $(-2,1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$、$(4,-5,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。故通解
$$X=C_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\\ 0\end{array}\right)(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$