2006 年考研数学（二） 第 23 题

这类题不给出 $A$ 的具体元素，而是用「行和」和「零空间」把谱信息喂给你。行和为 $3$ 等价于 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是特征值 $3$ 的特征向量；$Ax=0$ 的解就是特征值 $0$ 的特征向量。$3$ 阶已凑齐 $1+2=3$ 个线性无关特征向量，谱确定为 $0,0,3$。正交对角化时省一步力气：实对称矩阵不同特征值的特征向量自动正交，所以只需在二重特征值 $0$ 的特征子空间内做施密特正交化，其余单位化即可拼出 $Q$。

本题考查用特征值/特征向量定义定出实对称矩阵的谱，并作正交对角化。

（Ⅰ） 「各行元素之和均为 $3$」即 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，故 ${\lambda }_3=3$ 是特征值，对应特征向量 ${\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

又 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的解，即 $A{\mathbf{\alpha }}_i=0=0\cdot {\mathbf{\alpha }}_i$，故 $\lambda =0$ 是特征值，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 是其特征向量。因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，$\lambda =0$ 至少是二重；而 $A$ 为 $3$ 阶且已有单特征值 $3$，故 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$（恰二重）。

综上，$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=3$。其中 $\lambda =3$ 的全部特征向量为 $k(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}(k\ne 0)$；$\lambda =0$ 的全部特征向量为 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2(k_1,k_2\text{ 不全为零})$。

（Ⅱ） 对 $\lambda =0$ 的两个特征向量作施密特正交化：${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(-1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$，
$${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{-3}{6}{\mathbf{\beta }}_1=\frac{1}{2}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}.$$
$\lambda =3$ 的特征向量 ${\mathbf{\beta }}_3=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 已与上二者正交（实对称矩阵不同特征值的特征向量正交）。

单位化：${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。取
$$Q=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),$$
则 $Q$ 为正交矩阵，且 $\Lambda =Q^{\mathrm{T}}AQ=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$。