2006 年考研数学（二） 第 21 题

参数曲线三连问，逐层用 $\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$。凹凸看 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 符号（记得分母是 $\dot{x}$ 不是 ${\dot{x}}^2$）。切线题的核心方程是「切点处的导数斜率＝切点到定点的割线斜率」，解出参数即可。面积题务必先画草图确定边界与积分区间，本题用「三角形面积减去曲线下方面积」的差法，曲线段积分统一换成参数 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 来算，避免反解 $x$ 与 $t$。

本题考查参数方程求导（凹凸性、切线）与定积分求面积。

（Ⅰ） $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4-2t}{2t}=\frac{2-t}{t}=\frac{2}{t}-1$。再求二阶导：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{2}{t}-1\right)}{dx/dt}=\frac{-2/t^2}{2t}=-\frac{1}{t^3}.$$
当 $t>0$ 时 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$，故曲线 $L$ 是上凸的（凸函数图形）。

（Ⅱ） 设切点对应参数 $t=t_0$，即 $(x_0,y_0)=(t_0^2+1,4t_0-t_0^2)$，切线斜率为 $\frac{2-t_0}{t_0}$。切线过 $(-1,0)$，故斜率也等于 $\frac{y_0-0}{x_0-(-1)}=\frac{4t_0-t_0^2}{t_0^2+2}$。令二者相等：
$$\frac{2-t_0}{t_0}=\frac{4t_0-t_0^2}{t_0^2+2}\Rightarrow t_0^2+t_0-2=0\Rightarrow t_0=1(\text{舍去 }{t}_0=-2).$$
故切点 $(x_0,y_0)=(1^2+1,4-1)=(2,3)$，斜率 $\frac{2-1}{1}=1$，切线方程为 $y-3=1\cdot (x-2)$，即 $y=x+1$。

（Ⅲ） 切线 $y=x+1$ 交 $x$ 轴于 $A(-1,0)$；曲线 $L$ 交 $x$ 轴：令 $y=4t-t^2=0$ 得 $t=0$ 或 $t=4$，$t=4$ 时 $x=17>x_0=2$ 不在所取部分，故取 $t=0$，对应 $B(1,0)$。所取曲线段为 $t\in [0,1]$，即 $x\in [1,2]$。

所求区域＝以 $A(-1,0),(2,0),(2,3)$ 为顶点的直角三角形（由切线、$x$ 轴与直线 $x=2$ 围成）减去曲线段下方 $x\in [1,2]$ 的面积：
$$S=\frac{1}{2}\times [2-(-1)]\times 3-{\int }_1^{2}ydx=\frac{9}{2}-{\int }_0^1(4t-t^2)\cdot 2tdt.$$

${\int }_0^1(4t-t^2)\cdot 2tdt={\int }_0^1(8t^2-2t^3)dt=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}=\frac{13}{6}$，故
$$S=\frac{9}{2}-\frac{13}{6}=\frac{27-13}{6}=\frac{7}{3}.$$