2006 年考研数学（二） 第 20 题

第一问是「复合函数二阶偏导」的验证题，关键是耐心用链式法则并善用对称性——$x$、$y$ 地位对称，算完 $z_{xx}$ 直接对称写出 $z_{yy}$，相加时 $x^2+y^2$ 整体消成 $u^2$，Laplace 方程就塌缩成关于 $u$ 的常微分方程。第二问的方程 $u{f}^{\prime \prime }+f^{\prime }=0$ 恰是 $(u{f}^{\prime }{)}^{\prime }=0$ 的形式，一眼看出 $u{f}^{\prime }=$ 常数，比套公式更快；两个初始条件依次定出 $f^{\prime }=1/u$ 与 $f=\ln u$。

本题考查多元复合函数求偏导与可降阶微分方程。 令 $u=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{u}$。

（Ⅰ） $\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{x}{u}$。再对 $x$ 求导：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{u}\right)f^{\prime }(u)+\frac{x}{u}\cdot f^{\prime \prime }(u)\cdot \frac{x}{u}=\frac{u-x\cdot \frac{x}{u}}{u^2}{f}^{\prime }(u)+\frac{x^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)=\frac{y^2}{u^3}{f}^{\prime }(u)+\frac{x^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u),$$
其中用到 $u^2-x^2=y^2$。由 $x,y$ 的对称性，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{x^2}{u^3}{f}^{\prime }(u)+\frac{y^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)$。

两式相加：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{x^2+y^2}{u^3}{f}^{\prime }(u)+\frac{x^2+y^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)=\frac{1}{u}{f}^{\prime }(u)+f^{\prime \prime }(u).$$
令其为 $0$，即得 $f^{\prime \prime }(u)+\frac{f^{\prime }(u)}{u}=0$。

（Ⅱ） 方程 $f^{\prime \prime }+\frac{1}{u}{f}^{\prime }=0$ 可写成 $\frac{d}{du}[u{f}^{\prime }(u)]=u{f}^{\prime \prime }+f^{\prime }=0$，故 $u{f}^{\prime }(u)=C_1$。由 $f^{\prime }(1)=1$ 得 $C_1=1$，即 $f^{\prime }(u)=\frac{1}{u}$。

积分得 $f(u)=\ln u+C_2$，再由 $f(1)=0$ 得 $C_2=0$。故 $f(u)=\ln u$。