2006 年考研数学（二） 第 19 题

含两个常数 $a<b$ 的不等式，标准思路是「变量化」：令其中一个为变量 $x$，把不等式写成 $f(b)>f(a)$，只需证 $f$ 在区间上严格单增。这里 $f^{\prime }(x)=x\cos x-\sin x+\pi$ 符号不显然，于是再看 $f^{\prime \prime }(x)=-x\sin x<0$（$f^{\prime }$ 递减），配合好算的端点 $f^{\prime }(\pi )=0$，即得 $f^{\prime }>0$。这种「二阶导定单调 + 端点定符号」是处理三角混合式单调性的常见组合拳。

本题考查用单调性证明含两个常数的不等式。 把不等式两端看作同一函数在 $b$、$a$ 处的取值，构造辅助函数证明其单调递增。

令 $f(x)=x\sin x+2\cos x+\pi x$。则
$$f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x-2\sin x+\pi =x\cos x-\sin x+\pi .$$

再求二阶导：$f^{\prime \prime }(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x$。当 $0<x<\pi$ 时 $\sin x>0$，故 $f^{\prime \prime }(x)=-x\sin x<0$，即 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递减。

又 $f^{\prime }(\pi )=\pi \cos \pi -\sin \pi +\pi =-\pi -0+\pi =0$。由 $f^{\prime }$ 递减且 $f^{\prime }(\pi )=0$，知当 $0\le x<\pi$ 时 $f^{\prime }(x)>f^{\prime }(\pi )=0$，故 $f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递增。

因此当 $0<a<b<\pi$ 时 $f(b)>f(a)$，即
$$b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a.$$
证毕。