2003 年考研数学（二） 第 21 题

含参数的矩阵「可对角化定参数」，只可能卡在重特征值上：对 $k$ 重特征值 ${\lambda }_0$，可对角化 $\iff r({\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A})=n-k$（几何重数补足代数重数）。本题 $6$ 是二重根，要 $r(6\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$，行化简后那个含 $a$ 的元素必须为 $0$。最后拼 $\mathbf{P}$ 时务必让 $\mathbf{\Lambda }$ 对角元的排列与 $\mathbf{P}$ 各列特征向量严格对应。

本题考查矩阵可对角化的条件与对角化过程。 先求特征值；对重特征值，用「代数重数 = 几何重数」（即 $r(\lambda E-A)=n-$ 重数）定出 $a$，再求特征向量拼成 $\mathbf{P}$。

求特征值。 按第三行展开：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -2& 0\\ -8& \lambda -2& -a\\ 0& 0& \lambda -6\end{array}\right|=(\lambda -6)[(\lambda -2{)}^2-16]=(\lambda +2)(\lambda -6{)}^2.$$
故特征值 ${\lambda }_1=-2$（单），${\lambda }_2={\lambda }_3=6$（二重）。

定 $a$。 $\mathbf{A}$ 可对角化，要求二重根 $\lambda =6$ 有 $2$ 个线性无关特征向量，即 $r(6\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$。而
$$6\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 0\\ -8& 4& -a\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 0& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
要秩为 $1$ 必须 $a=0$。

求特征向量（$a=0$）。
$\lambda =-2$：解 $(2\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{X}=0$，$2\mathbf{E}+\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 0\\ 8& 4& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 ${\mathbf{\xi }}_1=(-1,2,0{)}^{\mathrm{T}}$。
$\lambda =6$：解 $(6\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{X}=0$，$6\mathbf{E}-\mathbf{A}\to \left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得线性无关特征向量 ${\mathbf{\xi }}_2=(1,2,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

写出 $\mathbf{P}$ 与 $\mathbf{\Lambda }$。 令
$$\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$
则 $\mathbf{P}$ 可逆，且 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$。