2003 年考研数学（二） 第 20 题

多问递进的中值定理证明，逐问用上一问的结论。信号识别：(2) 结论左边是 $\frac{b^2-a^2}{{\int }_a^{b}f}$，把 $b^2-a^2$ 看成 $\phi =x^2$ 的增量、${\int }_a^{b}f$ 看成 $F={\int }_a^{x}f$ 的增量，是柯西中值定理的标准配对；(3) 结论同时出现 $f^{\prime }(\eta )$ 和 $\int f$，且已知 $f(a)=0$，提示对 $f$ 在 $[a,\xi ]$ 用拉格朗日把 $f(\xi )$ 化成 $f^{\prime }(\eta )(\xi -a)$。「$\xi$ 与 $a,b$ 可分离」时先分离再对某一侧用中值定理，是这类题的通法。

本题考查由极限存在推函数值、柯西中值定理与拉格朗日中值定理的综合运用。 三问层层递进：先由极限定 $f(a)=0$，再用柯西中值定理得 $\xi$，最后用拉格朗日中值定理引出 $\eta$。

（1）证 $f(x)>0$。 因 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(2x-a)}{x-a}$ 存在，而当 $x\to a^{+}$ 时分母 $x-a\to 0$，故分子必趋于 $0$；又 $2x-a\to a$，由 $f$ 连续得 $f(2x-a)\to f(a)$，从而 $f(a)=0$。再由 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$ 知 $f$ 严格单调增，故当 $a<x<b$ 时 $f(x)>f(a)=0$。

（2）用柯西中值定理。 令 $\phi (x)=x^2$，$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$。二者在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $F^{\prime }(x)=f(x)\ne 0$（由(1)），${\phi }^{\prime }(x)=2x$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使
$$\frac{\phi (b)-\phi (a)}{F(b)-F(a)}=\frac{{\phi }^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )},\text{即}\frac{b^2-a^2}{{\int }_a^{b}f(x)dx}=\frac{2\xi }{f(\xi )}.$$
（注意 $F(a)=0$，$F(b)={\int }_a^{b}f(x)dx>0$。）

（3）用拉格朗日中值定理。 对 $f$ 在 $[a,\xi ]$ 上用拉格朗日中值定理，并注意 $f(a)=0$：存在 $\eta \in (a,\xi )\subset (a,b)$（显然 $\eta \ne \xi$），使
$$f(\xi )=f(\xi )-f(a)=f^{\prime }(\eta )(\xi -a).$$
代入(2)的结论：$\frac{b^2-a^2}{{\int }_a^{b}fdx}=\frac{2\xi }{f(\xi )}=\frac{2\xi }{f^{\prime }(\eta )(\xi -a)}$，整理即得
$$f^{\prime }(\eta )(b^2-a^2)=\frac{2\xi }{\xi -a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$