2003 年考研数学（二） 第 19 题

这类「注水/旋转体」应用题，抓两条守恒：面积随时间的给定规律，体积 = 速率 $\times$ 时间。含积分的体积方程 $\pi {\int }_0^y{\phi }^2=3t$ 不好直接解，标准手法是「两端对 $y$ 求导」把积分号去掉，变成关于 $\phi$ 的微分方程 ${\phi }^{\prime }=\frac{\pi }{6}\phi$，指数增长。别忘了初始条件来自底面半径 $\phi (0)=2$，同时它也保证了 $t=0$ 时面积 $4\pi$ 的那一项。

本题考查相关变化率、旋转体体积与一阶微分方程的综合。 用「液面面积随 $t$ 均匀扩大」列出面积关系，用「体积 = 注入速率 $\times$ 时间」列出体积方程，再求导得微分方程。

（1）面积关系。 设 $t$ 时刻液面高度为 $y$，液面是半径 $\phi (y)$ 的圆，面积 $S=\pi {\phi }^2(y)$。液面面积以 $\pi {\mathrm{m}}^2/min$ 均匀扩大，且 $t=0$ 时液面即容器底面（半径 $2$），初始面积 $\pi \cdot 2^2=4\pi$，故 $S=\pi t+4\pi$。于是
$$\pi {\phi }^2(y)=\pi t+4\pi ⟹t={\phi }^2(y)-4.$$

（2）体积方程。 以 $3{\mathrm{m}}^3/min$ 注入，$t$ 时刻液体体积 $V=3t$。又液体是曲线 $x=\phi (y)$ 从 $0$ 到 $y$ 绕 $y$ 轴旋转所得，故 $V=\pi {\int }_0^y{\phi }^2(\eta )d\eta$。结合 $t={\phi }^2(y)-4$：
$$\pi {\int }_0^y{\phi }^2(\eta )d\eta =3t=3{\phi }^2(y)-12.$$

两端对 $y$ 求导：$\pi {\phi }^2(y)=6\phi (y){\phi }^{\prime }(y)$。因 $\phi (y)>0$，约去得 ${\phi }^{\prime }(y)=\frac{\pi }{6}\phi (y)$，这是可分离（也是一阶线性齐次）方程，解得 $\phi (y)=C{e}^{\frac{\pi }{6}y}$。

由底面半径 $\phi (0)=2$ 得 $C=2$，故所求曲线方程为
$$x=\phi (y)=2e^{\frac{\pi }{6}y}.$$