2003 年考研数学（二） 第 18 题

几何题先把「法线 / 中点 / 平分」翻译成方程：法线斜率是 $-1/y^{\prime }$，被 $x$ 轴平分就是两端点纵坐标之和为 $0$。得到的 $2y{y}^{\prime }+x=0$ 是可分离方程，凑全微分 $d(\frac{x^2}{2}+y^2)=0$ 直接积出椭圆。第二问的巧点在于：椭圆弧长积分 $\int \sqrt{1+{\sin }^{2}t}$ 与正弦弧长积分 $\int \sqrt{1+{\cos }^{2}t}$ 只差一个 $\sin \leftrightarrow \cos$，靠 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的对称换元 $t\to \frac{\pi }{2}-t$ 把二者等同，于是 $s$ 用 $l$ 表出。

本题考查由几何条件建立微分方程求曲线，以及弧长的计算。

（1）建立并求解微分方程。 曲线在 $P(x,y)$ 处的法线为 $Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x)$。令 $X=0$ 得 $Y=y+\frac{x}{y^{\prime }}$，故 $Q\left(0,y+\frac{x}{y^{\prime }}\right)$。

「$PQ$ 被 $x$ 轴平分」即 $PQ$ 中点的纵坐标为 $0$：$\frac{1}{2}\left[y+\left(y+\frac{x}{y^{\prime }}\right)\right]=0$，即 $2y+\frac{x}{y^{\prime }}=0$。两端乘 $y^{\prime }$ 得 $2y{y}^{\prime }+x=0$，写成 $xdx+2ydy=0$，即 $d\left(\frac{x^2}{2}+y^2\right)=0$，故 $\frac{x^2}{2}+y^2=C$。
代入点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=C$。所以曲线方程为 $x^2+2y^2=1$（位于第一象限的部分）。

（2）用 $l$ 表示 $s$。 曲线 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上的弧长
$$l={\int }_0^{\pi }\sqrt{1+{\cos }^{2}x}dx=2{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+{\cos }^{2}x}dx.$$
将椭圆 $x^2+2y^2=1$ 的第一象限弧参数化：$x=\cos t,y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t\left(0\le t\le \frac{\pi }{2}\right)$，则
$$ds=\sqrt{(x_t^{\prime }{)}^2+(y_t^{\prime }{)}^2}dt=\sqrt{{\sin }^{2}t+\frac{1}{2}{\cos }^{2}t}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+{\sin }^{2}t}dt.$$

故
$$s=\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+{\sin }^{2}t}dt.$$
由对称性（令 $t\to \frac{\pi }{2}-t$）${\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+{\sin }^{2}t}dt={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+{\cos }^{2}t}dt=\frac{l}{2}$，所以
$$s=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{l}{2}=\frac{l}{2\sqrt{2}}.$$