2003 年考研数学（二） 第 17 题

「讨论交点个数」= 把差函数 $f=$ 左 $-$ 右 的零点个数说清楚。套路：求导定单调性、找最值、看两端趋势，再让最值与 $0$ 比较。本题关键是识破驻点方程 ${\ln }^{3}x+x-1=0$ 的唯一根 $x=1$（靠单调性 + 试根），于是 $f$ 是「单谷」函数，最小值 $4-k$ 的正负 $=0$、$>0$、$<0$ 恰好切成 0/1/2 个交点三档。两端都趋 $+\infty$ 是保证「谷底为负则必有两根」的前提。

本题考查用「函数零点个数」讨论两曲线交点个数。 令两式相等，构造辅助函数并研究其零点随参数 $k$ 的变化。

两曲线交点即方程 $4\ln x+k=4x+{\ln }^{4}x$ 的正根。令
$$f(x)={\ln }^{4}x-4\ln x+4x-k(x>0),$$
则交点个数 $=$ $f(x)$ 的零点个数。

求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{4{\ln }^{3}x}{x}-\frac{4}{x}+4=\frac{4({\ln }^{3}x+x-1)}{x}.$$
记 $g(x)={\ln }^{3}x+x-1$，因 $g^{\prime }(x)=\frac{3{\ln }^{2}x}{x}+1>0$，$g$ 严格单调增，且 $g(1)=0$，故 $f^{\prime }(x)=0$ 仅有唯一根 $x=1$。

当 $x\in (0,1)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，当 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $x=1$ 为 $f$ 的最小值点，最小值
$$f(1)=0-0+4-k=4-k.$$
又 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$（${\ln }^{4}x\to +\infty$），$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$（$4x$ 占主导）。

据最小值符号讨论：
（1）当 $4-k>0$，即 $k<4$：$f(x)\ge f(1)>0$，$f$ 无零点，两曲线无交点；
（2）当 $4-k=0$，即 $k=4$：$f(x)\ge 0$ 且仅在 $x=1$ 取等，$f$ 有唯一零点，两曲线有一个交点；
（3）当 $4-k<0$，即 $k>4$：最小值 $<0$ 而两端趋于 $+\infty$，由连续函数零点定理，$f$ 在 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$ 内各有一个零点，两曲线有两个交点。